Die Fast Fourier Transformation (FFT) – Mathe-Magie

Der Algorithmus, der die Welt veränderte

Jedes Mal, wenn du Musik streamst, ein Foto komprimierst oder ein SDR benutzt, arbeitet im Hintergrund die Fast Fourier Transformation^¹. Ein Algorithmus, der so fundamental ist, dass moderne Technik ohne ihn nicht existieren würde.

Was macht die FFT? Sie zerlegt komplexe Signale in ihre Einzelteile – wie ein Prisma, das weißes Licht in Regenbogenfarben aufspaltet.

Das Problem: Signale verstehen

Stell dir vor, du hörst ein Orchester. Violinen, Trompeten, Pauken – alles gleichzeitig. Dein Ohr empfängt eine einzige Schallwelle, ein chaotisches Auf und Ab von Luftdruckschwankungen.

Wie erkennt dein Gehirn trotzdem die einzelnen Instrumente?

Es analysiert die Frequenzen. Jedes Instrument erzeugt charakteristische Schwingungen. Die Violine bei 440 Hz (Kammerton A), die Pauke bei tiefen 50-100 Hz, die Trompete irgendwo dazwischen.

Genau das macht die FFT – nur mathematisch.

Von Fourier zur FFT

Der französische Mathematiker Jean-Baptiste Fourier^² entdeckte 1807 etwas Fundamentales: Jede periodische Funktion lässt sich als Summe von Sinus- und Kosinuswellen darstellen.

Das Problem: Die ursprüngliche Diskrete Fourier-Transformation (DFT)^³ ist langsam. Für N Datenpunkte braucht sie N² Berechnungen. Bei einem Signal mit einer Million Werten wären das eine Billion Operationen.

1965 revolutionierten Cooley und Tukey^⁴ alles: Ihr FFT-Algorithmus braucht nur N × log₂(N) Operationen. Für eine Million Werte: 20 Millionen statt einer Billion. Das ist der Unterschied zwischen Sekunden und Jahren.

Wie funktioniert die FFT?

Die Grundidee ist Divide and Conquer (Teile und Herrsche):

1. Teile das Signal in zwei Hälften (gerade und ungerade Indizes)
2. Berechne die FFT jeder Hälfte rekursiv
3. Kombiniere die Ergebnisse geschickt

Das funktioniert besonders gut, wenn die Signallänge eine Zweierpotenz ist (256, 512, 1024, …). Deshalb verwenden SDR-Programme oft genau diese Puffergrößen.

Das Spektrogramm: FFT sichtbar gemacht

Wenn du in einem SDR-Programm das Wasserfall-Display^⁵ siehst, schaust du auf tausende FFTs pro Sekunde:

• Horizontale Achse: Frequenz
• Vertikale Achse: Zeit
• Farbe/Helligkeit: Signalstärke

Ein Dauersender wie ein FM-Radiosender erscheint als vertikale Linie. Ein kurzes Signal (Burst) als Punkt. So “siehst” du Funksignale in der Zeit.

FFT-Parameter verstehen

Wenn du FFT-Einstellungen in SDR-Software siehst, bedeuten sie:

Eine typische Einstellung für SDR: FFT Size 2048, Overlap 50%, Hann-Window.

Fensterfunktionen: Warum sie wichtig sind

Ein subtiles Problem: Die FFT nimmt an, dass das Signal periodisch ist. Wenn das Signal am Rand des Analysefensters “abgeschnitten” wird, entstehen künstliche Frequenzen – sogenannte Leckeffekte^⁶.

Die Lösung: Fensterfunktionen^⁷ dämpfen das Signal an den Rändern ab:

In SDR-Software ist Hann (manchmal Hanning genannt) meist die beste Wahl.

FFT in der Praxis

Die FFT steckt überall:

Audio & Musik:

• MP3/AAC-Kompression (MDCT, eine FFT-Variante)
• Equalizer und Spektrumanalysatoren
• Noise Cancellation in Kopfhörern
• Auto-Tune und Pitch-Korrektur

Telekommunikation:

• OFDM in WLAN, 4G, 5G, DVB-T^⁸
• DSL-Modems
• Radar und Sonar

Bildverarbeitung:

• JPEG-Kompression (DCT, verwandt mit FFT)
• Medizinische Bildgebung (CT, MRT)
• Bildfilter und -effekte

Wissenschaft:

• Spektroskopie (Chemie, Astronomie)
• Seismologie (Erdbebenanalyse)
• Signalanalyse aller Art

FFT selbst ausprobieren

Mit Python und NumPy kannst du FFT in wenigen Zeilen nutzen:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Signal: Summe aus 100 Hz und 250 Hz
t = np.linspace(0, 1, 1000)
signal = np.sin(2*np.pi*100*t) + 0.5*np.sin(2*np.pi*250*t)

# FFT berechnen
fft = np.fft.fft(signal)
freq = np.fft.fftfreq(len(t), t[1]-t[0])

# Nur positive Frequenzen plotten
plt.plot(freq[:500], np.abs(fft[:500]))
plt.xlabel('Frequenz (Hz)')
plt.ylabel('Amplitude')
plt.show()

Das Ergebnis zeigt zwei klare Peaks: einen bei 100 Hz, einen bei 250 Hz. Die FFT hat das gemischte Signal in seine Bestandteile zerlegt.

Die Grenzen der FFT

Die FFT hat ein fundamentales Limit: Du kannst nicht gleichzeitig perfekte Zeit- und Frequenzauflösung haben.

Das ist die Unschärferelation der Signalanalyse^⁹:

• Lange FFT → Gute Frequenzauflösung, schlechte Zeitauflösung
• Kurze FFT → Gute Zeitauflösung, schlechte Frequenzauflösung

Für SDR-Anwendungen bedeutet das: Du musst einen Kompromiss finden, der zu deinem Signal passt.

Warum 17,3 hier nicht auftaucht

Anders als bei Antennenlängen gibt es bei der FFT keine magische Verbindung zu 17,3. Die Mathematik dahinter – komplexe Exponentialfunktionen und Eulersche Identität – ist elegant, aber frequenzunabhängig.

Trotzdem: Ohne FFT könntest du 17,3 MHz nicht im Wasserfall sehen. Der Algorithmus macht das Unsichtbare sichtbar.

Weiterführende Artikel: Das Waterfall-Display verstehen | RTL-SDR für Einsteiger